LATIHAN PAS MATEMATIKA KELAS 11

 PEMBAHASAN 

1. Diketahui :

Premis 1 : Jika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka lingkungan bersih.

Premis 2 : Jika lingkungan bersih maka hidup akan nyaman.  

Ditanya :  Kesimpulan dari kedua premis tsb?                                      

Jawab :   

Pola Silogisme

Premis 1 : p ~ q

Premis 2 : q ~ r

--------------------

P ~ r

Jika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka hidup akan nyaman.

2. Buktikan untuk n = 1 benar

Misal untuk n = k benar, akan dibuktikan untuk n = (k + 1) juga benar

Pembahasan

1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1) = n²

Langkah pertama  

Akan dibuktikan untuk n = 1 Benar

(2n – 1) = n²

2(1) – 1 = 1²

2 – 1 = 1

1 = 1 (benar)

Langkah kedua

Misal untuk n = k benar

1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2k – 1) = k²

Akan dibuktikan untuk n = (k + 1) juga benar

1 + 3 + 5 + 7 + .... + (2k – 1) + (2(k + 1) – 1) = (k + 1)²

|__________________|  

                                    k² + (2(k + 1) – 1) = (k + 1)²

                                         k² + 2k + 2 – 1 = (k + 1)²

                                               k² + 2k + 1 = (k + 1)²

                                                     (k + 1)² = (k + 1)²

                                                          (Benar)

Jadi TERBUKTI bahwa 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1) = n² berlaku untuk setiap n bilangan asli

3. 

Jadi, terbukti benar

4. :

5.  :

6. Pembahasan :

7.  n_ >5 = {1,2,3,4,5}

    2n-3 < 2n-2

    =2(1)-3 < 2(1)-2

    =(-1) < 0 (benar)

    2(2) -3 < 2(2) -2

    =1 < 2 (benar)

    2(3) -3 < 2(3) -2

    =3 < 4 (benar)

    2(4) -3 < 2(4) -2

    =5 < 6 (benar)

    2(5) -3 < 2(5) -2

    =7 < 8 (benar)

8. Persamaan x+2y=4 kita kalikan dengan 2, maka menjadi

2x + 4y = 8 (persamaan 1)

2x - 3y  = -13 (persamaan 2)

--------------- -  (dikurangi)

        7y = 21

          y = 21/7

          y = 3

Nilai y = 3 kita masukkan kdlam salah satu persamaan di atas, misalkan pada

persamaan x + 2y = 4,

x + 2.3  = 4

    x + 6 = 4

          x = 4 - 6

          x = -2

Jadi penyelesainnya adalah x= -2 dan y = 3

9. Pembahasan :

gula = x

beras = y

5x + 30y = 410.000 |*2

2x + 60y = 740.000 |*1

10x + 60y = 820.000

2x + 60y = 740.000 

_________________-

8x = 80.000

x = 10.000

Subtitusikan x nya ke persamaan

2x + 60y = 740.000

2(10.000) + 60y = 740.000

20.000 + 60y = 740.000

60y = 720.000

y = 12.000

Jadi, harga 1kg gula = Rp 10.000 dan 1kg beras = Rp 12.000

maka 2kg gula dan 5kg beras

= 2(10.000) + 5(12.000)

= 20.000 + 60.000

= Rp 80.000

10. Pembahasan :

x	0	3
y	5	0
(x,y)	(0,5)	(3,0)

11.Tentukan daerah kotor dari pertidaksamaan linear berikut 2x-5y > 20

Penjelasan dengan langkah-langkah:

2x-5y>20

titik potong di y

x=0

2(0)-5y>20

-5y>20

y<20/-5

y<-4

Hp { 0,-4}

titik potong di x

y=0

2x-5(0)>20

2x>20

x>20/2

x>10

Hp {10,0}

Hp{ 10,0 ; 0.-4}

12.

13. Diket : Daerah yang diarsir pada gambar 

Dit : Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan

Jawab :

LANGKAH PERTAMA (I)

Buatlah sistem pertidaksamaan pada setiap garis dengan menggunakan cara sebagai berikut :

Persamaan garis I melalui titik (0,6) dan (10,0) sehingga :

ax + by = ab

6x + 10y = 6.10

6x + 10y = 60     .... (÷2)

3x + 5y = 30

Kemudian perhatikan daerah arsiran yang mengarah ke bawah atau melalui titik (0,0). Jika arsiran melalui titik (0,0) maka jika diuji titik (0,0)  pernyataan dikatakan benar :

3x + 5y = 30

3.0 + 5.0 = 30

0 + 0 = 30

0 ≤ 30  (Benar)

Pertidaksamaannya : 3x + 5y ≤ 30

Persamaan garis II melalui titik (0,-4) dan (2,0) sehingga :

ax + by = ab

-4x + 2y = (-4).2

-4x + 2y = -8     .... (÷ 2)

-2x + y = -4

Kemudian perhatikan daerah arsiran yang mengarah ke sisi kiri atau melalui titik (0,0). Jika arsiran melalui titik (0,0) maka jika diuji titik (0,0)  pernyataan dikatakan benar :

-2x + y = -4

(-2).0 + 0 = -4

0 + 0 = -4

0 ≥ -4  (Benar)

Pertidaksamaannya :

-2x + y ≥ -4    .... (× -1)

2x - y ≤ 4

Kemudian pada arsiran juga terdapat garis x ≥ 0 dan y ≥ 0.

Sehingga pertidaksamaannya adalah :

3x + 5y ≤ 30 ; 2x - y ≤ 4 ; x ≥ 0 dan y ≥ 0.

14. 

                      

Jadi, nilai maksimum dicapai pada titik (5,0) yaitu: 3 . 5 + 2 . 0 = 15

15.  sedan: x

        truk: y

5x +15y ≤420

  x + 3y ≤84

  x + y ≤60

  x ≥ 0, y ≥ 0

Maka Model:

x + 3y ≤ 84 ; x + y ≤ 60 ; x ≥ 0 ; y ≥ 0

16. 

(1) Dibuat permisalan menggunakan tabel

MODEL	POLOS	GARIS	HARGA
x	1	3	Rp 150.000
y	2	1	Rp 100.000
Stok	20	20	Maksimum

x + 2y ≤ 20

3x + y ≤ 20

dengan :

x ≥ 0

y ≥ 0

Dan Fungsi Tujuan adalah harga jual :

150.000x + 100.000y

(2) Tentukan nilai fungsi x dan y pada grafik fungsi :

Dari x + 2y = 20 :

x = 0, y ⇒ 0 + 2y = 20

            ⇒       2y = 20

            ⇒          y = 20/2

            ⇒          y = 10

Titik Koordinat ⇒ (0,10)

y = 0, x ⇒ x + 2y = 20

            ⇒ x  + 0  = 20

            ⇒         x  = 20

Titik Koordinat ⇒(20,0)

Dari 3x + y = 20

x = 0 , y ⇒ 3x + y = 20

             ⇒ 0   + y = 20

Titik Koordinat ⇒ (0,20)

y = 0, x ⇒ 3x + y = 20

            ⇒ 3x + 0 = 20

            ⇒ 3x        = 20

            ⇒   x        = 20/3

Titik Koordinat ⇒ (20/3,0)

Dari Titik - titik tersebut tarik garis lurus hingga terhubung.

Lalu kita cari titik potong dari garis tersebut, dengan metode eliminasi dan subtitusi :

Eliminasi y :

x + 2y = 20  | x 1  |   x + 2y = 20

3x + y = 20  | x 2 | 6x + 2y = 40

                            ============  -

                             -5x          = -20

                                x           = 20/5

                                x           = 4

Subtitusikan nilai x pada persamaan 3x + y = 20 :

3 . 4 + y = 20

12 + y = 20

       y = 20 - 12

       y = 8

Koordinat titik potong garis pada (4,8)

(3) Selanjutnya Dari Titik - titik yang berpotongan kita uji dengan :

Fungsi Tujuan f(x,y) = 150.000x + 100.000y :

Ada 3 titik pada Grafik (perhatikan lampiran)

A. Titik (0,10) = 150.000 . (0) + 100.000 . (10) =

                      = 0 + 1.000.000 = 1.000.000

B. Titik (4,8) = 150.000 . (4) + 100.000 . (8) =

                      = 600.000 + 800.000 = 1.400.000

C. Titik (20/3,0) = 150.000 . (20/3) + 100.000 . (0) =

                        = 1.000.000 + 0 = 1.000.000

Dari Hasil Uji diatas dapat dilihat, penghasilan terbesar pada titik (4,8) yaitu sebesar Rp.1.400.000,00

17.  diketahui:

        

ditanya:

determinan C...?

jawab:

- mencari transpos matrisk A

   ⇒ 

- mencari matriks C

 

     

     

- mencari determinan C

 determinan C = (3)(3) - (-6)(8)

                       = 9 + 48

determinan C = 57

Maka, determinan dari matriks C adalah 57.

18. 

19. Diketahui

A = 

Matriks A tidak mempunyai invers

Ditanyakan  

x = .... ?

Jawab 

Suatu matriks tidak mempunyai invers jika determinan matriks tersebut sama dengan nol

Jadi,

|A| = 0

(2x + 1)(5) – 3(6x – 1) = 0

10x + 5 – 18x + 3 = 0

8 – 8x = 0

8 = 8x

x = 

x = 1

20.

21. Dua garis dalam persamaan matriks: Saling tegak lurus jika a : b = ...

Pembahasan :

Garis g = -2x + ay = 4

Garis h = bx + 3y = 12

mg = 2/a

mh=-b/3

karena g dan h saling tegak lurus, maka mg x mh = -1, maka:

2/a.-b/3 = -1

-2b/3a = -1

2b/3a = 1

3a = 2b

Sehingga a : b= 2: 3

22. Agar lebih mudah dalam membuat matriks produksi, pertama kita akan membuat tabel produksi untuk masing-masing pabrik sebagai berikut.

1. 
   Sehingga, kita mendapatkan matriks-matriks produksi S dan M sebagai berikut.
   
2. Dari matriks yang diperoleh dari poin 1, kita dapat menghitung banyaknya pakaian yang telah diproduksi oleh pabrik di Surabaya. Banyaknya kaos yang telah diproduksi adalah 7.820, sedangkan banyaknya jaket yang sudah diproduksi adalah 4.120. Selanjutnya, banyaknya kaos yang diproduksi oleh pabrik di Malang adalah 8.820, sedangkan banyaknya jaket yang telah diproduksi adalah 7.020.
3. Diketahui perkiraan peningkatan produksinya adalah 4% = 0,04. Artinya, jika n adalah banyaknya produksi pakaian tahun kemarin, maka banyaknya produksi pada tahun ini adalah n + 0,04n = 1,04n. Sehingga, matriks produksi pada tahun depan dapat ditentukan dengan menggunakan perkalian skalar sebagai berikut.
   
   Sehingga dari matriks di atas kita mendapatkan perkiraan banyaknya pakaian yang akan diproduksi oleh JCloth di pabrik Surabaya ataupun Malang. Pabrik di Surabaya akan memproduksi kaos kurang lebih 3.973 kualitas standard, 2.558 kualitas deluxe, dan 1.602 kualitas premium serta memproduksi jaket sebanyak 2.038 kualitas standard, 1.290 kualitas deluxe, dan 956,8 kualitas premium. Sedangkan pada, pabrik di Malang akan memproduksi kaos sebanyak 4.389 kualitas standard, 3.078 kualitas deluxe, 1.706 kualitas premium serta meproduksi jaket sebanyak 3.078 kualitas standard, 3.370 kualitas deluxe, dan  852,8 kualitas premium pada periode yang sama.
4. Untuk menentukan banyaknya total pakaian yang diproduksi oleh JCloth, kita jumlahkan matriks S’ dengan M’ seperti berikut.
   
   Dari penjumlahan matriks di atas, kita memperoleh informasi banyaknya pakaian yang akan diproduksi oleh JCloth. Dengan menjumlahkan semua elemen-elemen matriks penjumlahan tersebut, kita peroleh bahwa banyaknya pakaian yang akan diproduksi oleh JCloth kurang lebih 28.142.

23. Pembahasan :

x = pensil

y = penghapus

5x + 3 y = 11.500 (x2)

4x + 2 y = 9.000 (x3)

_______________

10x + 6 y = 23.000

12x + 6y = 27.000

_______________ (-)

-2x = -4.000

x = 2.000

4x + 2y = 9.000

4*2000 + 2y = 9000

2y = 1000

y = 500

jadi harga pensil = 2000 dan penghapus = 500

sehingga doni harus membayar 6*2000 + 5*500 = 12.000+2.500 = 14.500

Pembahasan dengan matriks:

Jadi, Dodi harus membayar [6 x Rp 2.000]+ [5 x Rp 500] = Rp 14. 500.

24.

25.  x + y = 16

3x + 4y = 55

Jika ditulis dalam bentuk matriks :     

Jadi, Lisa bekerja selama 9 jam sedangkan Muri bekerja selama 7 jam.          

26. Bayangan titik A (-1, 4) oleh refleksi terhadap garis y= -x

Pencerminan terhadap garis y = -x

A(a, b)  → gr y = -x → A'(-b, -a)

A(-1, 4) → gr y = -x → A'(-4, -(-1)) = (-4, 1)

27. (x, y) dicerminkan thp sumbu x : (x, -y) kemudian

(x, -y) dicerminkan thp sumbu y : (-x, -y)

Jadi

-x = x' => x = -x'
-y = y' => y = -y'

Bayangan dari : y = 3x² + 2x - 1 adalah
(-y') = 3(-x')² + 2(-x') - 1
-y' = 3x'² - 2x' - 1
y = -3x² + 2x + 1

28. 

$T_1=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$

$T_2=\left[\begin{array}{cc}cos{90}^{\circ }& -sin{90}^{\circ }\\ sin{90}^{\circ }& cos{90}^{\circ }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]$

$T=\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$

Bayangan titik (x, y) oleh transformasi T :
$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}-x\\ y\end{array}\right]$

Dari persamaan matriks diatas, diperoleh :
x' = -x  ↔  x = -x'
y' = y  ↔  y = y'

Substitusi x dan y ke persamaan kurva :
3x + 5y − 2 = 0
⇒  3(-x') + 5(y') − 2 = 0
⇔  -3x' + 5y' − 2 = 0
⇔  3x' − 5y' + 2 = 0

Jadi, persamaan bayangan kurva adalah :
3x − 5y + 2 = 0

29. Step-1 pencerminan garis x = k

Untuk x = 2

(x' , y') = (2(2) - x, y)

(x' , y') = (4 - x, y) akan disubtitusi ke Step-2

Step-2 translasi (- 3, 4)

Translasi (a, b) dengan a = -3 dan b = 4.

(x", y") = (x' + (- 3), y' + 4)

(x", y") = (4 - x + (- 3), y + 4)

(x", y") = (1 - x, y + 4)

Sehingga, x" = 1 - x dan y" = y + 4

Setelah diatur dengan pindah ruas menjadi 

Substitusikan ke bentuk awal x²+ y² = 4

⇔ (1 - x")² + (y" - 4)² = 4

Selanjutnya tanda aksen dapat dihilangkan

⇔ (1 - x)² + (y - 4)² = 4  

⇔ x² - 2x + 1 + y² - 8y + 16 = 4

⇔ x² + y² - 2x - 8y + 1 + 16 - 4 = 0

Dari langkah-langkah pengerjaan di atas, diperoleh persamaan bayangan lingkaran 

30.  A(3,-2)

dipetakan oleh T(1 -2)

x' = x + 1 = 3 + 1 = 4
y' = y + (-2) = -2 + (-2) = -4

Bayangan A = A' = (4,-4)

lanjut rotasi [O , 90°]

x" = -y' = -(-4) = 4
y" = x' = 4

Bayangan akhir = A" = (4,4)

31. 

no 32

• refleksi thd sb x

x' = x

y' = -y

Bayangan

y = x² + 3x + 3

-y' = x'² + 3x' + 3

y = -x² - 3x - 3

• lanjut dilatasi [O, 4]

x' = 4x → x = 1/4 x'

y' = 4y → y = 1/4 y'

Bayangan akhir

y = -x² - 3x - 3

1/4 y' = -(1/4 x')² - 3(1/4 x') - 3

1/4 y = -1/16 x² - 3/4 x - 3

Kedua ruas kalikan 4

y = -1/4 x² - 3x - 12 ✔

no 33

no 34

no 35

no 36

maka

U1,U2,U3,...
50.000, 55.000, 60.000,....
maka 
a=50.000
b=5.000(beda per bulan)
yg ditanyakan=jumlah tabungan dlm 2 tahun, maka jumlah tabungan dalam 24 bulan
maka
Sn=n/2(a+Un)
cari Un dulu
Un=a+(n-1)b
U24 =50.000+(24-1)5.000
U24=50.000+23x5.000
U24=50.000 + 115.000
U24=165.000
lalu
Sn=n/2(a+Un)
S24=24/2(50.000+165.000)
S24=12(215.000)
S24=2.580.000

37.sebuah mobil dibeli dengan harga rp 80.000.000,00.setiap tahun nilai jualnya menjadi 3/4 dari harga sebelumnya.nilai jual setelah dipakai 3 tahun adalah...

PEMBAHASAN

Diketahui :

• Harga beli (a) = Rp80.000.000
• Nilai jual (r) = 3/4

Ditanya : nilai jual setelah 3 tahun (U₄) = . . . ?

Jawab :

Nilai jual setelah 3 tahun adalah U₄ karena kita gunakan U₁ = 0 tahun.

Sehingga, nilai jual setelah dipakai 3 tahun

Kesimpulan : Jadi, harga jual mobil tersebut setelah dipakai 3 tahun adalah Rp33.750.000,00.

38.Diketahui deret geometri dengan suku pertama 6 dan suku keempat adalah 48. Jumlah enam suku pertama deret tersebut adalah ...

39.Diketahui suatu barisan aritmatika dengan U3+U9+U11= 75. suku tengah barisan tersebut adalah 68 dan banyak sukunya 43 maka U43 bernilai...

a + 2b + a + 8b + a + 10b = 75
3a + 20b = 75

suku tengah adalah 22 atau a + 21b = 68  kali 3

3a + 20b = 75
3a + 63b = 204 _
       43b = 129
           b = 3
a + 21b = 68
a + 21 . 3  = 68
a = 68 - 63
a = 5

u43 = a + 42b
       = 5 + 42 . 3
       = 5 + 126
       = 131

40.uang sebesar Rp5000.000,00 diinvestasikan selama empat tahun dengan sistem bunga majemuk sebesar 5%. Tentukanlah besarnya uamg tersebut setelah akhir tahun ke empat...

dik. -. modal awal Rp.5.000.000 (Nt)
-. bunga majemuk 5% (i)
-. jangka waktu 4th (n)
dit. nilai akhir modal setelah 4th (Na)

jawab
Na = Nt (1 + i)pangkat n
Na = 5.000.000 (1 +(5/100))pangkat 4
Na = 5.000.000 (1 + 0.05)pangkat 4
Na = 5.000.000 (1.05)pangkat 4
Na = 5.000.000 x 1.2155
Na = 6.077.531,25
jadi nilai akhir modal setelah 4th adalah Rp.6.077.531,25