SOAL TRIGONOMETRI

1. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

A. Tentukanlah nilai dari $\sin 120^{\circ}+\cos 201^{\circ}+\cos 315^{\circ}$ !

Jawab:

$\sin 120^{\circ}$ berada pada kuadran 2, sehingga nilainya tetap positif dengan besar sama seperti $\sin 120^{\circ} = \sin (180-60)^{\circ} = \sin 60^{\circ} = \frac{1}{2} \sqrt{3}$

$\cos 120^{\circ}$ berada pada kuadran 3, sehingga nilainya negatif dengan besar sama seperti $\cos 120^{\circ} = \cos (180+30)^{\circ} = - \cos 30^{\circ} = - \frac{1}{2} \sqrt{3}$

$\cos 315^{\circ}$ berada pada kuadran 4, sehingga nilainya positif dengan besar sama seperti

B. Diketahui segitiga PQR dengan P(0, 1, 4), Q(2, -3, 2), dan R (-1, 0, 2). Besar sudut PQR adalah ….

$\textrm{A.} \; \; \; 120^{o}$

$\textrm{B.} \; \; \; 90^{o}$

$\textrm{C.} \; \; \; 60^{o}$

$\textrm{D.} \; \; \; 45^{o}$

$\textrm{E.} \; \; \; 30^{o}$

Pembahasan:

Segitiga PQR pada soal dapat diilustrasikan seperti berikut.

Mencari panjang RQ:

$\overrightarrow{RQ} = (2-(-1), -3-0, 2-2)=(3,-3,0)$

$|RQ|= \sqrt{3^{2}+(-3)^{2}+0^{2}} =\sqrt{9+9+0}= \sqrt{18}$

Mencari panjang RP:

$\overrightarrow{RP} = (0-(-1), 1-0, 4-2)=(1,1,2)$

$|RQ|= \sqrt{1^{2}+1^{2}+2^{2}} =\sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$

Mencari besar sudut R:

$\overrightarrow{RQ} \cdot \overrightarrow{RP} = |RP| \cdot |RQ| \cdot Cos \; R$

$(3,-3,0)(1,1,2) = \sqrt{18} \cdot \sqrt{6} \cdot Cos \; R$

$3 - 3 + 0 = \sqrt{108} \cdot Cos \; R$

$0 = \sqrt{108} \cdot Cos \; R$

$Cos \; R = \frac{\sqrt{108}}{0}$

$Cos \; R = 0 \rightarrow R = 90^{o}$

Jadi, besar sudut R adalah 90o.

Jawaban: B

C. Besar sudut

72^{\circ}

sama dengan

\dots rad

\frac{1}{5} π

\frac{2}{3} π

\frac{5}{6} π

\frac{2}{5} π

\frac{3}{4} π

Ingat bahwa

1^{\circ} = \frac{π}{180} rad

Dengan demikian,

\begin{aligned} 72^{\circ} & = 72^{2} \times \frac{π}{180^{5}} rad \\ = \frac{2}{5} π rad \end{aligned}

Jadi, besar sudut

72^{\circ}

sama dengan

\frac{2}{5} π rad

(Jawaban B)

D. Jika cos(γ) =

\frac{\sqrt{2}}{2}

dan sudut γ lancip, tentukan nilai dari

c s c^{2} (γ) - c o t^{2} (γ)

Pembahasan :
cos(γ) =

\frac{s a m p i n g}{m i r i n g}

\frac{\sqrt{2}}{2}

samping =

\sqrt{2}

miring = 2
depan =

\sqrt{2^{2} - (\sqrt{2})^{2}}

\sqrt{2}

Sesuai definisi
csc(γ) =

\frac{2}{\sqrt{2}}

cot(γ) =

\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}

= 1

csc²(γ) − cot²(γ) = (

\frac{2}{\sqrt{2}}

)² − (1)²
csc²(γ) − cot²(α) = 2 − 1
csc²(γ) − cot²(α) = 1

Jadi, csc²(γ) − cot²(γ) = 1

2. SUDUT BERELASI

A. Jika sin 30° =½ maka cos 300°=

Jawab :

cos 300°
= cos (360° - 60°)
= cos 60°
= cos (90° - 30°)
= sin 30°
= 1/2

B. Nyatakan tiap perbandingan trigonometri berikut di dalam sudut 37° !

tan 143° Yaitu...

Sudut 143° adapada kuadran II, hingga tan 143° memiliki nilai negatif.

tan 143° = tan (180° − 37°)

= -tan 37°

C. Untuk perbandingan trigonometri berikut, nyatakanlah dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya
sin 20°
tan 40°
cos 53°

Jawab :
sin 20° = sin (90° − 70°)
= cos 70°

tan 40° = tan (90° − 50°)
= cot 50°

cos 53° = cos (90° − 37°)
= sin 37°

D. Jika (x + 20°) adalah sudut lancip, tentukan nilai dari

\frac{t a n (x + 110^{\circ})}{2 c o t (x + 20^{\circ})}

Pembahasan :
tan (x + 110°) = tan (90° + (x + 20°))
Karena (x + 20°) lancip, maka (90° + (x + 20°)) adalah sudut kuadran II, sehingga tangen bernilai negatif.
tan (90° + (x + 20°)) = -cot (x + 20°)

akibatnya

\frac{t a n (x + 110^{\circ})}{2 c o t (x + 20^{\circ})} = \frac{- c o t (x + 20^{\circ})}{2 c o t (x + 20^{\circ})} = - \frac{1}{2}

\frac{t a n (x + 110^{\circ})}{2 c o t (x + 20^{\circ})} = \frac{- c o t (x + 20^{\circ})}{2 c o t (x + 20^{\circ})} = - \frac{1}{2}

\frac{t a n (x + 110^{\circ})}{2 c o t (x + 20^{\circ})} = \frac{- c o t (x + 20^{\circ})}{2 c o t (x + 20^{\circ})} = - \frac{1}{2}

\frac{t a n (x + 110^{\circ})}{2 c o t (x + 20^{\circ})} = \frac{- c o t (x + 20^{\circ})}{2 c o t (x + 20^{\circ})} = - \frac{1}{2}

\frac{t a n (x + 110^{\circ})}{2 c o t (x + 20^{\circ})} = \frac{- c o t (x + 20^{\circ})}{2 c o t (x + 20^{\circ})} = - \frac{1}{2}

\frac{t a n (x + 110^{\circ})}{2 c o t (x + 20^{\circ})} = \frac{- c o t (x + 20^{\circ})}{2 c o t (x + 20^{\circ})} = - \frac{1}{2}

\frac{t a n (x + 110^{\circ})}{2 c o t (x + 20^{\circ})} = \frac{- c o t (x + 20^{\circ})}{2 c o t (x + 20^{\circ})} = - \frac{1}{2}

E. Diketahui cot (x + 36°) = tan 2x. Jika 2x adalah sudut lancip, tentukan nilai x !

Pembahasan :
cot (x + 36°) = tan 2x
Karena 2x sudut lancip, pastilah 2x terletak dikuadran I. Dengan menggunakan relasi sudut kuadran I, maka :
tan 2x = cot (90° − 2x)

Sehingga
cot (x + 36°) = cot (90° − 2x)
x + 36 = 90° − 2x
3x = 54
x = 18

3. ATURAN SINUS COSINUS & LUAS SEGITIGA

A. Pada segitiga ABC, sisi AC = 16 cm, AB = 8 √2 cm, sudut B = 45° tentukan sudut-sudut segitiga ABC yang lainnya.

Penyelesaian :

B. △ ABC dengan panjang sisi a = 4 cm , ∠A = 120° , dan ∠B = 30°. Panjang sisi c...

jawab :

C. Suatu segitiga dengan panjang sisi berturut-turut adalah 3, 5 dan 7. Jika θ adalah sudut yang berada di depan sisi yang panjangnya 7, tentukan sin θ dan tan θ !

Pembahasan :

Dengan aturan cosinus :
cos θ =

\frac{3^{2} + 5^{2} - 7^{2}}{2. 3. 5}

cos θ =

- \frac{1}{2}

Karena cos θ bernilai negatif, maka θ adalah sudut tumpul (kuadran II)
θ = 180° − 60°
θ = 120°

sin θ = sin 120°
sin θ = sin (180° − 60°)
sin θ = sin 60° (K.II sinus positif)
sin θ =

\frac{1}{2}

√3

tan θ = tan 120°
tan θ = tan (180° − 60°)
tan θ = −tan 60° (K.II tangen negatif)
tan θ = −√3

D. Diketahui bahwa segitiga ABC memiliki sudut A=60 0 dan sudut B=300 dengan garis AB = 140 dan AC = 80, berapa panjang garis CB ?

Pembahasan :

4. PERSAMAAN TRIGONOMETRI

A. Nilai

x

yang memenuhi persamaan

\tan 2 x = \frac{1}{3} \sqrt{3}

untuk

0^{\circ} \leq x \leq 270^{\circ}

...

Diketahui:

\tan 2 x = \frac{1}{3} \sqrt{3} = \tan 30^{\circ}

Dengan demikian, ditulis

\begin{aligned} 2 x & = 30^{\circ} + k \cdot 180^{\circ} \\ x & = 15^{\circ} + k \cdot 90^{\circ} \end{aligned}

Untuk

k = 0

, diperoleh

x = 15^{\circ} (✓)

Untuk

k = 1

, diperoleh

x = 105^{\circ} (✓)

Untuk

k = 2

, diperoleh

x = 195^{\circ} (✓)

Untuk

k = 3

, diperoleh

x = 285^{\circ} (X)

Jadi, nilai

x

yang memenuhi persamaan tersebut bila dinyatakan dalam notasi himpunan adalah

{15^{\circ}, 105^{\circ}, 195^{\circ}}

B. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan trigonometri sin x = sin 2/10 π, 0 ≤ x ≤ 2π …..

Penyelesaian :

soal persamaan trigonometri dan jawaban no 3

C. Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari sin x = ½ …..

soal persamaan trigonometri dan jawaban no 1

D. Untuk 0° ≤ x ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian dari cos x = ½ ….

A. HP = {60o,420o}

B. HP = {60o,300o}

C. HP = {30o,360o}

D. HP = {30o,120o}

E. HP = {-60o,120o}

Jawaban : B

Pembahasan :

soal persamaan trigonometri dan jawaban no 2

5. GRAFIK TRIGONOMETRI

A. Perhatikan gambar di bawah!

Persamaan grafik fungsi pada gambar di atas adalah ….

A. y = – 2 Sin(3x + 45)o

B. y = – 2 Sin(3x – 45 )o

C. y = – 2 Sin(3x – 45 )o

D. y = 2 Sin(3x + 15)o

E. y = 2 Sin(3x – 45 )o

Pembahasan:

Berdasarkan grafik fungsi trigonometri pada soal dapat diperoleh informasi:

Nilai Amplitudo: A = 2

Periode dari 15o sampai 135o adalah 1, sehingga:

$\frac{360^{o}}{k} = 135^{o} - 15^{o}$

$\frac{360^{o}}{k} = 120^{o}$

$k = \frac{360^{o}}{120^{o}} = 3$

Grafik fungi trigonometri pada soal merupakan grafik dasar fungsi sinus y = Sin x yang digeser ke kana sejauh 15o.

Persamaan umum fungsi sinus adalah:

$y = A \cdot Sin \; k \left(x \pm \alpha \right)^{o} \pm C$

Jadi, persamaan grafik fungsi trigonometri yang sesuai dengan gambar pada soal adalah:

$y = 2 \cdot Sin \; 3 \left(x - 15 \right)^{o}$

$y = 2 \cdot Sin \; \left(3x - 45 \right)^{o}$

B. Fungsi yang sesuai dengan grafik berikut adalah

\dots \cdot

f (x) = 2 \sin (x - \frac{π}{2})

f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{2})

f (x) = 2 \sin (x + \frac{π}{2})

f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{2})

f (x) = 2 \sin (2 x + \frac{π}{2})

pembahasan:

Beranjak dari grafik sinus: karena kurva bergeser (ke kiri) sejauh

\frac{π}{2}

, maka bentuk umum grafik fungsinya adalah

f (x) = y = a \sin k (x - c)

.
Untuk grafik ini, nilai

c

yang menentukan pergeseran kurva adalah

- \frac{π}{2}

(tandanya negatif, karena grafik bergeser ke kiri).
Dimulai dari titik

x = - \frac{π}{2}

yang nilai fungsinya 0, grafik fungsi kembali bernilai

0

dan berulang kembali di titik

x = \frac{3 π}{2}

, sehingga periode grafik fungsinya adalah

\frac{3 π}{2} - (- \frac{π}{2}) = 2 π

.
Dengan demikian,

k = \frac{2 π}{Periode} = \frac{2 π}{2 π} = 1

Nilai

a

ditentukan oleh nilai maksimum dan nilai minimum fungsi, yakni

\begin{aligned} a & = \frac{N. Maksimum - N. Minimum}{2} \\ = \frac{2 - (- 2)}{2} = 2 \end{aligned}

Jadi, rumus grafik fungsinya adalah

f (x) = 2 \sin 1 (x + \frac{π}{2}) = 2 \sin (x + \frac{π}{2})

(Jawaban C)

C.A.Perhatikan grafik di bawah!

Persamaan fungsi trigonometri yang sesuai pada grafik di atas adalah ….

$\textrm{A.} \; \; \; y = 2 Sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$

$\textrm{B.} \; \; \; y = 2 Sin \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right)$

$\textrm{C.} \; \; \; y = 2 Sin \left( x - \frac{\pi}{6} \right)$

$\textrm{D.} \; \; \; y = 2 Cos \left( x + \frac{\pi}{6} \right)$

$\textrm{D.} \; \; \; y = 2 Cos \left( 2x + \frac{\pi}{6} \right)$

Pembahasan:

Grafik fungsi trigonometri merupakan bentuk grafik fungsi sinus. Persamaan umum grafik fungsi trigonometri untuk fungsi sinus adalah:

$y = A \; \textrm{Sin} \; k (x \pm \alpha ) \pm c$

Menghitung banyaknya gelombang dalam 1 periode (k):

Berdasarkan informasi grafik fungsi trigonometri yang diberikan pada soal, diketahui bahwa pada rentang $- \frac{pi}{6}$ sampai dengan $\frac{5 \pi }{6}$ memuat setengah periode.

$\frac{\pi}{k} = \left( \frac{5 \pi}{6} - \left( - \frac{\pi}{6} \right) \right)$

$\frac{ \pi }{k} = \frac{5 \pi}{6} + \frac{\pi}{6}$

$\frac{ \pi }{k} = \frac{6 \pi}{6}$

$k = \frac{6 \pi}{6 \pi} = 1$

Jadi banyaknya gelombang dalam satu periode adalah 1 (k = 1).

Mencari nilai Amplitudo (A): nilai tertinggi yang dapat dicapai grafik fungsi trigonometri adalah 2 atau – 2 , sehingga nilai amplitudonya sama dengan 2 (A = 2). Grafik fungsi trigonometri yang diberikan pada soal bergeser sejauh $\frac{\pi}{6}$ ke arah kiri, sehingga persamaan akan mendapat tambahan + ${\pi}{6}$ .