BARISAN DAN DERET GEOMETRI DAN BEBERAPA CONTOH SOALNYA

BARISAN GEOMETRI

Barisan geometri adalah baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui perkalian dengan suatu bilangan. Perbandingan atau rasio antara nilai suku-suku yang berdekatan selalu sama yaitu r. Nilai suku pertama dilambangkan dengan a.

Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan geometri dapat dihitung dengan rumus berikut.

$U_{n}=ar^{n-1}$ DERET GEOMETRI

Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari barisan geometri.

Penjumlahan dari suku-suku pertama sampai suku ke-n barisan geometri dapat dihitung dengan rumus berikut.

$S_{n}=a\frac{(1-r^{n})}{(1-r)}$

dengan syarat r < 1

atau

$S_{n}=a\frac{(r^{n}-1)}{(r-1)}$

dengan syarat r > 1

CONTOH SOAL

1. Selembar kertas dipotong menjadi dua bagian. Setiap bagian dipotong menjadi dua dan seterusnya. Jumlah potongan kertas setelah potongan kelima sama dengan …

Pembahasan :

Diketahui: a = 1

r = 2

Ditanya: $U_{5}=?$

Jawab:

$U_{n}=ar^{n}$
$U_{5}=1.2^{5}$
=32

2. Pada sebuah deret geometri diketahui bahwa suku pertamanya adalah 3 dan suku ke-9 adalah 768. Suku ke-7 deret tersebut adalah …

Pembahasan :

Diketahui: a = 3
$U_{9}=768$
Ditanya: $U_{7}=?$

Jawab:

Sebelum kita mencari nilai dari $U_{7}$ , kita akan mencari nilai r terlebih dahulu.

Ingat kembali bahwa $U_{n}=ar^{n-1}$ sehingga $U_{9}$ dapat ditulis menjadi

$U_{9}=768$
$3.r^{9-1}=768$
$r^{8}=\frac{768}{3}$
$r^{8}=256$
$r=\sqrt[8]{256}$
$r=2$

Sehingga,

$U_{7}=3.2^{6}$
$=3.64$
$=192$

Jadi, suku ke-7 deret tersebut adalah 192.

Jadi, jumlah potongan kertas setelah potongan kelima adalah 32

3. Diketahui suku ke-5 dari barisan geometri adalah 243, hasil bagi suku ke-9 dengan suku ke-6 adalah 27. Suku ke-2 dari barisan tersebut adalah …

Pembahasan :

Diketahui $U_{5}=243$
$\frac{U_{9}}{U_{6}}=27$

Ditanya $U_{2}=?$
Jawab:

Sebelum kita mencari nilai dari $U_{2}$ , kita akan mencari nilai a dan r terlebih dahulu.

Ingat kembali $U_{n}=ar^{n-1}$ maka

$\frac{a.r^{8}}{a.r^{5}}=27$
$r^{3}=27$
$r=\sqrt[3]{27}$
$r=3$

Substitusikan r = 3 ke persamaan $U_{5}=243$

$U_{5}=243$
$a.3^{4}=243$
$a=\frac{243}{81}$
$a=3$

sehingga

$U_{2}=a.r$
$=3.3$
= 9

Jadi, suku ke-2 dari barisan tersebut adalah 9.

4. Jumlah 6 suku pertama deret geometri 2 + 6 + 18 + … adalah …

Pembahasan:

Diketahui: a = 2

r = 3

ditanyakan $U_{6}=?$

Jawab:

$S_{n}=a\frac{(r^{n}-1)}{(r-1)}$
$S_{6}=2\frac{(3^{6}-1)}{(3-1)}$
$=2\frac{(729-1)}{2}$
$=728$

Jadi, jumlah 6 suku pertama deret geometri tersebut adalah 728.

5. Diketahui sebuah barisan geometri 3, 6, 12....maka suku ketujuh dari barisan geometri tersebut ...

Pembahasan :

a = 3
r = 2
Un = ar(n-1)
⇒ 3.2(7-1)
⇒ 3.2(7-1)
⇒ 192

6. Diketahui sebuah barisan geometri : 3, 9, 27, 81, 243. Berapakah rasio barisan geometri tersebut ...

Pembahasan :

Kita ambil dua bilangan terakhir yaitu : 81 dan 243, maka:
Un = 243
U(n-1) = 81
Sehingga nilai rasio (r) :
r = UnU(n-1) = 24381 = 3

7. Diketahui sebuah barisan geometri : 5, 10, 20, 40, 80, ... , 5120. Nilai suku tengahnya adalah ...

Pembahasan :

a = 5
Un = 5120

Ut = √a . Un

Ut = √5 . 5120 = √25600 = 160

8. Terdapat sebuah barisan geometri sebanyak lima suku. Jika suku pertamanya adalah 3 dan rasionya adalah 3. Berapakah suku tengahnya?

Pembahasan :

a = 3
r = 3
n = 5

Ut = √a . rn = √3 . 35=729 = 27

9. Ada Sebuah barisan geometri yang untuk mencari suku Un.cari dan hitunglah suku Un yang ke 7 dari barisan 58, 24, 12,… tersebut!

Pembahasan :

Diketahui :

a = 48

r = 1/2

Jawab :

Un = arn-1
Un = 58.(1/2)n-1
Un = 58.(1/2)n-1
Un = 58.(2-1)1-n
Un = 4.16. (2)1-n
U7 = 4.24 (2)1-n
U7 = 4.25-n

Jadi, suku Un yang ke 7 tersebut adalah = 4.25-n

10. Pertumbuhan bakteri mengikuti pola barisan geometri. Setiap satu detik bakteri berkembang biak menjadi 2 kali lipat dari jumlah bakteri sebelumnya. Jika pada saat permulaan terdapat 5 bakteri, maka jumlah bakteri berkembang menjadi 320 bakteri setelah ...

Pembahasan :

Setiap satu detik bakteri berkembang biak menjadi 2 kali lipat dari jumlah bakteri sebelumnya.
Pernyataan tersebut dapat kita simpulkan rasio (r) = 2

Jika pada saat permulaan terdapat 5 bakteri
Pernyataan ini bisa simpulkan bahwa suku pertama (a) = 5

Jumlah bakteri berkembang menjadi 320 bakteri.
Pernyataan di atas bermakna : Suku ke-n (Un) = 320

Sekarang kita sudah dapat yang diketahui yaitu :
r = 2
a = 5
Un = 320

Yang ditanyakan adalah : suku ke-n (detik ke berapa) ?

Un = arn-1
320 = 5.2n-1
3205 = 2n-1
64 = 2n-1
25 = 2n-1
5 = n-1
5 + 1 = n
n = 6

Jadi jumlah bakteri berkembang menjadi 320 bakteri setelah 6 detik

Cari Blog Ini

matematika