LOGIKA MATEMATIKA

LOGIKA MATEMATIKA

Logika matematika adalah cabang logika dan matematika yang mengandung kajian matematis logika dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan ilmu komputer dan logika filosofis, dengan tema utama kekuatan ekspresif dari logika formal dan kekuatan deduktif dari sistem pembuktian formal. Logika matematika sering dibagi ke dalam cabang-cabang dari teori himpunan, teori model, teori rekursi, teori pembuktian, serta matematika konstruktif. Bidang-bidang ini memiliki hasil dasar logika yang serupa.

Pernyataan

Dalam logika matematika, kita akan belajar untuk menentukan nilai dari suatu pernyataan. Pernyataan sendiri merupakan kalimat yang sudah pasti mempunyai nilai benar atau sudah pasti mempunyai nilai salah, tetapi tidak sekaligus keduanya.

Pernyataan tertutup dan pernyataan terbuka

Pernyataan lalu dibagi lagi menjadi dua jenis, pernyataan tertutup (kalimat tertutup) dan pernyataan terbuka (kalimat terbuka). Pernyataan tertutup merupakan pernyataan yang nilai kebenarannya sudah pasti sedangkan pernyataan terbuka adalah pernyataan yang nilai kebenarannya belum pasti.

Contoh pernyataan:

• 9 adalah bilangan ganjil >> pernyataan ini bernilai benar
• Jakarta adalah ibukota India >> pernyataan ini bernilai salah

Dalam logika matematika, pernyataan diberi lambang dengan huruf p, q atau r.

Kalimat terbuka adalah kalimat matematika yang belum mempunyai nilai kebenaran. Kalimat ini selalu mengandung variabel-variabel.

Contoh kalimat terbuka:

• A terkenal sebagai kota hujan
• Atha tidak masuk sekolah karena sakit

Berbeda dengan kalimat tertutup yang bisa diketahui dengan pasti nilai kebenarannya, kalimat terbuka benar dan salahnya masih dipertanyakan. Karena itu kalimat ini belum bisa dikatakan sebagai pernyataan.

Kalimat terbuka bisa diubah menjadi suatu pernyataan jika variabel-variabel dalam kalimat diganti dengan suatu nilai sehingga kalimat tersebut mempunyai nilai kebenaran.

Contoh:
A terkenal sebagai kota hujan adalah kalimat terbuka, sedangkan
Bogor terkenal sebagai kota hujan adalah kalimat pernyataan

Negasi

Setelah memahami apa itu pernyataan dan apa itu kalimat terbuka, langkah selanjutnya adalah membahas negasi.

Negasi atau disebut juga ingkaran/penyangkalan merupakan pernyataan yang menyangkal apa yang diberikan. Ingkaran pernyataan dapat dibentuk dengan menambah ‘Tidak benar bahwa …’ didepan pernyataan yang diingkar. Hal ini dilambangkan dengan ~.

Katakanlah p bernilai benar, maka ~p bernilai salah. Begitu juga sebaliknya, jika p bernilai salah, maka ~p bernilai benar.

Contoh Negasi dari pernyataan:

1. Jakarta adalah ibukota Malaysia
   Jakarta bukan ibukota Malaysia
2. 9 adalah bilangan ganjil
   9 bukanlah bilangan ganjil

Pernyataan Majemuk

Kemudian, pernyataan dijabarkan lagi menjadi pernyataan majemuk, yang dalam hal ini dibagi menjadi beberapa jenis:

1. Konjungsi
2. Disjungsi
3. Implikasi
4. Biimplikasi

1. Kongjungsi

Konjungsi, yang dilambangkan dengan (Ʌ) merupakan pernyataan majemauk dengan kata penghubung “dan”. Ini akan bernilai benar jika variabel-variabelnya bernilai benar, dan bernilai salah jika salah satu dari variabelnya bernilai salah.

Contoh:
p: Jakarta adalah ibukota Indonesia (pernyataan bernilai benar)
q: Jakarta adalah kota metropolitan (pernyataan bernilai benar)
p^q: Jakarta adalah ibukota Indonesia dan kota metropolitan (pernyataan bernilai benar)

2. Disjungsi

Disjungsi, yang dilambangkan dengan (V) merupakan pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan menggunakan kata penghubung “atau”. Sebuah disjungsi bernilai benar jika salah satu pernyataan bernilai benar dan bernilai salah jika kedua pernyataan bernilai salah.

Contoh:
p: Jakarta adalah ibukota Indonesia (pernyataan bernilai benar)
q: Jakarta adalah kota pelajar (pernyataan bernilai salah)
pVq: Jakarta adalah ibukota Indonesia atau kota pelajar (pernyataan bernilai benar)

3. Implikasi

Implikasi merupakan dua pertanyaan p dan q yang dinyatakan dalam bentuk kalimat “jika p maka q”. Ini dilambangkan dengan p -> q.

Contoh:
p: Atha rajin belajar (pernyataan bernilai benar)
q: Atha lulus dengan nilai gemilang (pernyataan bernilai benar)
p->q: Jika Atha rajin belajar, maka Atha lulus dengan nilai gemilang (pernyataan bernilai benar)

4. Biimplikasi

Biimplikasi adalah pernyataan majemuk yang dinyatakan dalam bentuk kalimat “… jika dan hanya jika”. Ini dinotasikan dengan p<-> q, dibaca “p jika dan hanya jika q”.

Contoh:
p: 1+1 = 2 (pernyataan bernilai benar)
q: 2 adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai salah)
p<->q: 1+1=2 jika dan hanya jika 2 adalah bilangan ganjil nyataan bernilai salah)

Pernyataan-pernyataan ekuivalen

coba perhatikan tabel dibawah ini!

syarat dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen adalah jika kedua pernyataan majemuk memiliki nilai kebenaran yg sama. berikut ini adalah contoh beberapa pernyataan majemuk yang ekuivalen

KONVERS, INVERS, KONTRAPOSISI

Konvers, Invers dan Kontraposisi adalah bagian dari Implikasi seperti yang sudah di bahas di Logika Matematika.
Konvers, Invers dan Kontraposisi adalah suatu pernyataan Implikasi baru dari suatu pernyataan implikasi.

1. Konvers adalah perubahan dari satu sistem ke sitem yang lain. Pernyataan q=>p disebut Konvers dari p=>q.
2. Invers adalah Pembalikan suatu susunan dari suatu susunan yang lazim. Pernyataan ~p=>~q disebut Invers dari p=>q.
3. Pernyataan ~q=>~p disebut Kontraposisi dari p=>q.

 nilai kebenaran Konvers, Invers  dan Kontraposisi dari Implikasi: 

p	q	Implikasi	Konvers	Invers	Kontraposisi
		p=>q	q=>p	~p=>~q	~q=>~p
B	B	B	B	B	B
B	S	S	B	B	S
S	B	B	S	S	B
S	S	B	B	B	B

 Dari tabel diatas diketahui Implikasi ekuvalen dengan kontra posisi atau biasa ditulis dengan

 p=>q≡~q=>~p

Contoh: 

• Implikasi: Jika hati tenang maka kita senang.
• Konvers: Jika kita senang maka hati tenang.
• Invers: jika hati tidak tenang maka kita tidak senang
• Kontraposisi: Jika kita tidak senang maka hati tidak tenang.

dalam materi penalaran umu, ada juga lho, yang namanya kuantor universal dan eksistensial. Kira-kira, apa sih perbedaan antara kuantor universal dan eksistensial?

Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial

1. Kuantor Universal

Kuantor universal biasa disebut kuantor umum adalah bentuk ungkapan yang menyatakan keseluruhan dan biasanya ditulis dengan kata ‘semua’ atau ‘setiap’. Kedua kata merupakan kuantor universal karena menunjukkan bahwa semua anggota memiliki keadaan yang sama. Secara matematis, dilambangkan sebagai  ‘∀’. Perhatikan contoh berikut.

“Semua gajah memiliki belalai”

Pada kalimat di atas, ‘memiliki belalai’ berperan sebagai predikat.

Jika predikatnya kamu simbolkan sebagai B, maka penulisannya menjadi G(x) ⇒ B(x).

Artinya, jika x adalah gajah maka x mempunyai belalai.

Eitss, kamu harus paham bahwa kalimat tersebut bukan kalimat kuantor universal karena belum memuat kata ‘semua’. Agar menjadi kalimat kuantor universal, kamu perlu menambahkan lambang kuantornya (∀), sehingga menjadi (∀x)(G(x)) ⇒  B(x). 

Setelah kamu tambah tanda kuantor universal, kalimatnya menjadi “untuk semua x, jika x adalah gajah maka x memiliki belalai.”

2. Kuantor Eksistensial

Jika kuantor universal ditandai dengan kata ‘semua’, maka kuantor eksistensial ditandai dengan kata ‘beberapa’ atau ‘ada’. Itulah mengapa kuantor eksistensial menunjukkan sesuatu yang bersifat khusus atau beberapa anggota yang memiliki keadaan berbeda dengan lainnya. Secara matematis, disimbolkan sebagai ‘∃’. 

Untuk lebih jelasnya, simak contoh berikut.

“Beberapa orang rajin beribadah”

Penulisan logika predikat untuk pernyataan di atas adalah “ada x yang adalah orang dan x rajin beribadah” (∃x)(Orang(x)) ∧ rajin beribadah atau menjadi (∃x)(O(x)) ∧  I(x).

PENARIKAN KESIMPULAN

Kamu bisa melakukan penarikan kesimpulan dengan tiga metode, yaitu silogisme, modus ponens, dan modus tolens.

1. Silogisme

Silogisme merupakan penarikan kesimpulan dari dua pernyataan implikasi. Aturan silogisme adalah sebagai berikut.

Jika p => q benar dan q => r benar maka p => r benar, atau nyatakan dalam bentuk premis.

Premis 1: p => q

Premis 2: q => r

Kesimpulan: p => r

2. Modus Ponens

Modus ponens mengikuti aturan berikut ini.

Premis 1: p => q

Premis 2: p

Kesimpulan: q

3. Modus Tolens

Penarikan kesimpulan dengan modus tolens, mengikuti aturan berikut.

Jika p => q benar dan ~q benar maka ~p benar, bisa ditulis:

Premis 1: p => q

Premis 2: ~q

Kesimpulan: ~p

Sudah paham kan dengan pembahasan di atas? Agar kamu tambah semangat belajar tentang penalaran umum ini, yuk kerjakan contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal

Jika bahan kaus yang digunakan adalah katun maka penjualan kaus meningkat.

Jika penjualan kaus meningkat maka penjualan kemeja akan meningkat.

Penjualan kemeja mengalami penurunan.

Simpulan yang tepat adalah…

1. Penjualan kaus menurun.
2. Penjualan kemeja meningkat.
3. Bahan kaus yang digunakan bukan katun
4. Bahan kemeja yang digunakan adalah katun.
5. Pembeli tidak membeli kaus maupun kemeja

Jawaban: C